La première erreur est de considéré les axiomes mathématiques comme des propositions pouvant être vraies ou fausses. Un axiome mathématique est une proposition vraie par définition. Ainsi en est-il du cinquième axiome de la géométrie euclidienne. En utilisant un jeu réduit d’axiomes, d’autres mathématiciens ont inventé d’autre géométrie.

La seconde erreur est de considérer les mathématiques comme une science. Les mathématiques sont des constructions intellectuelles, des systèmes formels sans lien a priori avec la réalité. Les sciences utilisent les mathématiques pour construire des modèles permettant de décrire le réel, plus ou moins bien. La géométrie euclidienne permet d’établir un modèle du réel, des géométries non euclidiennes ont permis de construire d’autres modèles. Certains décrivent mieux la réalité sous certaines conditions et d’autre modèles la décrivent mieux sous certaines autres conditions (par exemple selon l’échelle macroscopique ou atomique).

Une troisième erreur consiste à penser qu’en mathématique toute proposition peut être démontrée. Gödel a montré que ce n’est pas vrai : il existe des propositions vraies indémontrables dans tout système formel.

Cordialement.